在正式介绍汇编语言之前，我会先用几篇文章讲一些数学基础和硬件基础。如果读者已经具备了一定的知识基础，可以直接跳过这些文章去汇编语言部分。

二进制，八进制与十六进制

在计算机底层的软件层面，我们通常采用二进制，八进制或十六进制来记录数字，其中最常用的是十六进制。所谓$n$进制，就是从0开始数，逢$n$进1. 比如说二进制，就是从0开始数，到1，然后到2的时候进1变成10. 八进制也是类似，但是到了十六进制就犯了难，我们的数字只有0到9这十个，并不能表示出16个呀，于是，我们默认使用了a到f这六个字母来分别表示10到15这六个数。也就是说，十进制数10对应的十六进制数是a, 十进制数26对应的十六进制数是1a. 在计算机底层，通常用 0x 开头表示十六进制，用 0 开头表示八进制，而没有前缀来表示十进制。因此，比如说以下的汇编代码（并不需要理解实际含义）

movq $0x1a, %rax

与

movq $26, %rax

相同。

十进制数与十六进制数的转化可以在搜索引擎上找到，这里不再赘述。而八进制，十六进制数与二进制数的转换则十分简单。一个八进制数的一位代表一个二进制数的三位，比如说八进制数的一位 5 就代表二进制数的三位 011 ; 同理，一个十六进制数的一位就代表二进制数的四位。因此，十六进制数 0x2000001 就代表二进制数 0010000000000000000000000001 .

我们知道，之所以使用二进制数，是因为计算机底层采用高电平/低电平这种方法来表示数。那么，我们为什么要使用八进制、十六进制呢？我们知道，如今的计算机大多采用64位系统，意思是说，任何一个地址都是一个64位二进制数。那么，如果我们只采用二进制来表示一个地址，那么得有64个 0 或者 1 , 这不仅让我们看花眼了，而且也极大的浪费了电脑的显示资源。而刚才讲到的十六进制数则帮我们解决了这个问题。我们知道，十六进制数的一位对应二进制数的4位。因此，一个$n$位二进制数，只需要$\lceil\frac{n}{4}\rceil$位十六进制数即可。也就是说，我们要表示64位的地址，只需要16位十六进制数即可。

补码

进制问题解决了在计算机底层软件中数的表示问题，接下来还需要解决的是记录问题，也就是说，如何把数实际存储在64位寄存器中。我们想要解决两个问题：

• 如何记录负数
• 可以使用加法器计算减法么

天才般的先行者，使用了补码来一举解决了这两个问题。

想要解决第二个问题，一个想法自然出现了，既然$a-b=a+(-b)$, 那可以在加法器中输入一个正数和一个负数来实现减法呀。

然而，我们知道，在计算机中，一个存储单位存储的数据大小是有上限的。比如说在64位CPU中，每个寄存器有64位，因此可以存储64位二进制数。因此，在CPU的加法器中，实际上使用了模$2^{64}$ 加法。也就是说，加法器做的，就是对于输入的两个64位二进制数$a$和$b$, 输出64位二进制数$(a+b)\bmod{2^{64}}$.

因此，我们只有找到合适的将负数记录成64位二进制数的方法，才能将加法器转化为减法器。

注意到 $$ a-b\equiv a+\left(2^{64}-b\right)\pmod{2^{64}} $$

而由于$b$是64位二进制数，因此，$2^{64}-b$必然是一个正数，而正数的记录方法我们是知道的。因此，我们可以使用$2^{64}-b$来记录$-b$, 其参与的减法就可以变成相应的加法。

但是，还有一个细节需要注意。比如说，我们想要记录的二进制数是 0xfffffffffffffffe , 那么根据刚刚讨论的，我们可以将其记录为 0x1 . 这就出现了问题，如何区分 0x1 和 0xfffffffffffffffe 呢？我们采用这种方法只是为了方便减法，并不打算将正数和负数混同啊。

因此，在实际操作中，当出现负数时，能够允许的负数的绝对值最大值是$2^{63}$. 换句话说，其记录值最高位 0 表示正数， 1 表示负数。这种记录方法叫做 补码 。也就是说，对于小于$2^{63}$的正数，采用其二进制表示为其实际记录；对于不低于$-2^{63}$的负数，将其加上$2^{64}$后的正数的二进制表示为其实际记录。如果采用补码，那么可以表示$-2^{63}\sim2^{63}-1$的整数。因此，采用补码记录的数称为 有符号整数 。反之，如果直接使用其二进制表示为其记录的话，那么只能表示$0\sim 2^{64}-1$的整数。因此，这种数的记录形式称为 无符号整数 。

逻辑运算

除了加减乘除以外，二进制数还有独特的运算——逻辑运算。分别是与(and), 或(or), 非(not)和异或(xor). 与或非大家都很熟悉了，异或就是当且仅当两个操作数不同时输出 1 , 相同时输出 0 .

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