数学，是由一个个定义，或者说“对象”组成的。如果将数学比作一个结构精巧的积木，那么一个个对象就是构造其的木块，而我们要谈的“关系”，就是这些木块之间的黏合剂；也正如“关系”其名，如果将数学比作一个庞大的社会，关系就是连接个人之间的人情世故。

正如我们之前引入逻辑联结词，集合的交、并、相对差一样，如果没有“关系”，那么一个个定义都只是孤立的个体，就像我们不知道主餐后应该是甜点，搞不清烤鸭和烤鱼哪个热量更高。关系，就是连接个体之间的桥梁。

其实，在我们数学研究中，已经在不经意间使用了关系，如之前的命题之间的逆、否，如集合之间的包含与被包含。我们再提关系的意义，就是将这些对象统一起来，从整体的角度来看它们的共性。

关系

首先，我们给出有序对的概念:

定义 有序对 (ordered pair) $\displaystyle <a,b>$ ,它满足性质 $\displaystyle <a,b>=<c,d>\leftrightarrow a=c\wedge b=d$

这个有序对的概念涉及两个对象，首先，它是“对”，包含两个特定的元素a和b，其次，它有序，若a≠b，则 $\displaystyle <a,b>\ne <b,a>$

而我们之前说过，数学中除集合以外的一切定义，都可以由集合给出。那么，这个有序对怎么由集合给出呢？这个集合要包含上述两个对象，所以，机智的数学家们给出了这样的定义:

$\displaystyle <a,b>=\left\{ a,\left\{ a,b \right\} \right\} $

不难验证，这个定义确实满足上述的两个对象。

讲了这么多，终于可以定义“关系”了：

二元关系 (binary relation)是一个非空集合，它的元素都是有序对。此外，空集也是特殊的二元关系。二元关系简称“关系”

其实关系也有不是二元的，但是其他的关系都可以由二元关系类比得出

有了关系的定义，我们一般怎样构造一个关系呢？

我们可以定义两个集合的直积或笛卡尔乘积(Cartesian product)：

$\displaystyle A\times B=\left\{ <a,b>|a\in A\wedge b\in B \right\} $

这是我们构造关系的最有效方法。

容易知道， $\displaystyle A\times B$ 的任何子集也是关系，而 对于任意 $\displaystyle A\times B$ 的 子集 ，我们称其为“从A到B的关系”，若A=B，则称为“A上的关系”

我们常将一个二元关系记作R，（注意到R是一个集合），如果 $\displaystyle <a,b>\in R$ ,则记作 $\displaystyle aRb$

记集合 $\displaystyle \left\{ a|\exists b\left( aRb \right) \right\} $ 为R的 定义域 (domain)，集合 $\displaystyle \left\{ b|\exists a\left( aRb \right) \right\} $ 为R的 值域 (range)

一下子给出了这么多定义，看似十分杂糅，实际上都是些很显然的东西。我们有两个对象，他们之间可能有先后顺序，可能有主次矛盾，而关系，则是将这些性质数学化的手段。我们常见的二元关系，有之前讲的集合之间的包含与被包含关系，也有数之间的大小关系。

关系，也有一些性质涉及到了更深层次的意义，比如说，数学之美。

设R为集合A上的关系

如果 $\displaystyle \forall x\left( x\in A\rightarrow xRx \right) $ ,则称R为 自反的 (reflexive)

如果 $\displaystyle \forall x\left( x\in A\rightarrow \neg xRx \right) $ ，则称R为 反自反的 (irreflexive)

如果 $\displaystyle \forall x\forall y\left( x,y\in A\wedge xRy\rightarrow yRx \right) $ ,则称R为 对称的 (symmetric)

如果 $\displaystyle \forall x\forall y\left( x,y\in A\wedge xRy\wedge yRx \rightarrow x=y\right) $ ,则称R为 反 对称的 (antisymmetric)

如果 $\displaystyle \forall x\forall y\forall z\left( x,y,z\in A\wedge xRy\wedge yRz\rightarrow xRz \right) $ ,则称R为 传递的 (transitive)

用自然的语言来说，如果所有x和自身都有关系R，则R为自反的；如果所有x和自身都没有关系R，则R为反自反的；如果x和y有关系R，那么y和x也有关系R，则R为对称的；如果x和y有关系R，那么y和x就没有关系R，则R为反对称的；如果x和y，y和z有关系R，那么x和z有关系R，则R为传递的。

数之间的小于关系是反自反的，传递的；小于等于关系是自反的，反对称的，传递的；相等关系是自反的，对称的，反对称的，传递的。

而现实生活中的正常的恋人关系，是反自反的，对称的；血缘关系是自反的，对称的，传递的。

一个够好的关系，是至少具备上述性质中的几个的。如果啥性质都没有，那这个关系可是够难看的。

映射

由关系，我们便可以引入数学上分布最广的对象—— 函数 (function),亦即， 映射 (mapping)。

这里之所以称之为映射而非函数，原因是我想在这篇文章里讨论的仅仅是函数在集合论中的部分，其单调性、奇偶性等等暂且按下不表。而在此，映射似乎更符合这种语境。

映射是一种特殊的二元关系。

设F为二元关系，A、B为其定义域、值域，若 $\displaystyle \forall x\in A$ , $\displaystyle \exists $ 唯一 $\displaystyle y\in B$ ,使得 $\displaystyle xFy$ ，则称F为映射,并记 $\displaystyle y=f(x)$ 。

这里的定义与二元关系的区别就在于“唯一”。也正如一个人可以与许多人有恋人关系，但也只能同时与一个人有夫妻关系。

再次指出，这里的映射也是一个集合。

如果映射F的定义域为A，值域包含于B，则称f为由A到B的映射，B称为其 陪域 (codomain)。

映射有三个自身的属性——定义域、对应关系与陪域。相信这个大家都在初高中牢记于心，我就不再赘述了。

那么上面所说的“由A到B的映射”可知，B不是由A和F唯一确定的，只要包含F值域的集合，都可称之为“由A到B的映射”。

映射的表示方法，与函数略有不同。如：

映射 $\displaystyle f:x\rightarrow 2x,x\in [1,2]$

是严格的映射的表示方法。注意到映射的表示中，全无等号的出现。第一个冒号，意在诠释这个映射 f 。如果映射f后接等号，那也只能用集合或另一个映射去与之相等，如 $\displaystyle f=\left\{ <1,2>,<2,2>,<3,6> \right\} $ ；第二个箭头，意在区别哪个是定义域的元素，哪个是值域的元素，在计算机语言中，有时也可以用等号，不过一般是 $\displaystyle 2x=x$ .

此外，由A到B的映射F还可记为 $\displaystyle F:A\rightarrow B$

比如说， $\displaystyle f:x\rightarrow 2x,x\in [1,2]$ 可记作 $\displaystyle f:[1,2]\rightarrow [2,4]$ ,亦可记作 $\displaystyle f:[1,2]\rightarrow R$ ,其中， $\displaystyle [2,4]$ 和 $\displaystyle R$ 均为F的陪域，而只有 $\displaystyle [2,4]$ 为其值域。

下面介绍映射的分类：

设F为由A到B的映射

如果F的值域为B，则称F为 满射 (surjective)

如果 $\displaystyle \forall x\forall y\left( x\ne y\rightarrow f(x)\ne f(y) \right) $ ,则称F为 单射 (injective)

如果F既是满射也是单射，则称F为 双射 (bijective)

事实上，双射是最有意义的映射，这在集合的等势中应用极高。

嘿嘿，暂时写这么多吧。

愿大家在阅尽数学中关系后，找到在社会关系中与自己以细细红丝相连而有浓浓感情的那个人。