数学的学习中，我们往往会遇到 $\displaystyle x=y$ 和 $\displaystyle x\sim y$ 。前者是相等关系，后者是等价关系。这两者联系紧密，有时也难以分清。所以，我觉得有必要单独对比一下这两种关系。

首先，从关系的角度来看，这两者并无区别。相等关系和等价关系一样，都是自反的，对称的，传递的。这一点无可置辩，却也给了我们对相等关系和等价关系的一个最本质的认识。事实上，相等关系和等价关系都是描述了两个对象的一定程度上的 相同性 ，或者说， 可互换性 。两个对象可以互换，故这个关系有对称性，而一个对象可以和自身互换，故这个关系有自反性，而传递性更不用说，也是成立的。

那么，相等关系和等价关系有什么区别呢？

莱布尼茨说：“世界上没有两片完全相同的叶子。”但是事实上，大树对此不以为然。无论是哪一片叶子，都可以对自己提供糖分，也都需要根提供无机盐养分。所以说，对大树而言，两片叶子是 等价的 ，对莱布尼茨而言，两片叶子不是 相等的 。

从数学上来讲，等价关系是在 某个方面上 两者的可互换性，而相等关系是在 所有方面 两者的可互换性。

具体而言，如集合之间的等势，就是在基数方面两个集合的可互换性。我们可以写 $\displaystyle Z\sim Q$ ，却不可以写 $\displaystyle Z=Q$ ，原因就在于，在元素方面，Z和Q不完全相同，故Z和Q不是所有方面都可互换。

而在真正的数学概念中，相等关系和等价关系并非像我们这样模糊定义的。数学家们每引入一个新的对象，都会 定义 其相等关系或等价关系。有的相等关系十分显然，如“对于复数 $\displaystyle z_1=a_1+b_1i$ 和 $\displaystyle z_2=a_2+b_2i$ ,若 $\displaystyle a_1=a_2,b_1=b_2$ ,则 $\displaystyle z_1=z_2$ ”；但有的却要想一想，并非平凡：“若 $\displaystyle z_n=a_n+b_ni$ ,则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }{z_n}= \sum_{n=1}^{\infty }{a_n}+i\sum_{n=1}^{\infty }{b_n}$ ”，我们在级数理论中知道，对无穷级数而言，交换律和结合律并非总是成立，而数学家们通过这个相等关系的定义规避了这个问题。

事实上，相等关系是一种特殊的等价关系。相等关系比等价关系的特殊之处在于，若两对象相等，则在任意语境中，无论是自然语言的叙述，还是数学语言的等式，这两个对象都可以互换。

比如说，对于高阶无穷小 $\displaystyle f(x)=o(x)$ ，我觉得这样写是不够严谨的（事实上Zorich的数学分析上也注过），比如说， $\displaystyle x\rightarrow 0$ 时， $\displaystyle \sin x=o(x^2)$ , $\displaystyle \tan x =o(x^2)$ ,那么根据相等关系的传递性， $\displaystyle \sin x=\tan x$ ,这显然是荒谬的。所以，用等价关系来叙述反而更好些。在 $\displaystyle x\rightarrow 0$ 的情况下， $\displaystyle \sin x\sim o(x^2)$ , $\displaystyle \tan x\sim o(x^2)$ , $\displaystyle \sin x\sim \tan x $ 。这毫无矛盾。

但是，用等价符号记高阶无穷小得有一条注意的事项，它不是对称的。比如说， $\displaystyle o(x^3)\sim o(x^2)$ 意味着 $\displaystyle o(x^3)$ 是 $\displaystyle x^2$ 的高阶无穷小，而 $\displaystyle o(x^2)$ 却不一定 是 $\displaystyle x^3$ 的高阶无穷小。

再者说，相等关系中还有一条规律，即：如非特别说明，等号两边可以同时消掉相同的项。尽管这条并非严格要求，但不符合的情况总是较少的。而 $\displaystyle o(x)+o(x)=o(x)$ ,也就显得比较奇怪了。但用等价关系来看，由于等价关系并没有这条规律，所以是合适的。

此外，相等关系和等价关系可以通过某些关系关联。再次举无穷小的例子， $\displaystyle x\rightarrow 0$ 时, $\displaystyle f(x)\sim o(x)$ ,那么 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)+g(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{o(x)+g(x)}{x}$ ,通过lim的符号，我们将相等关系和等价关系联系在了一起。