深蓝色的夜空中星辰漫天，碧绿色的草原上牛羊成群。几千年前的一个依然安静的夏夜，孩子躺在草垛上，数着天上的繁星，打发着漫长的夜晚。屋里已传来鼾声的大人们，在阳光明媚的梦里，数着草原上的牛羊，规划着将来丰裕的生活。就在这样平凡的一天天中，我们伟大的祖先发现了数学中最基础的数——整数。

固然，整数不像有理数那样精确而稠密，也不像实数那样包蕴而完备，亦不似复数那样缥缈而魔幻。但是，整数却有其独一无二的优点：离散性。无垠的宇宙中，有一个个星球，也有一片片星云。运用近人的物理定律，离散的星球之间的关系似乎很好推出，但连续的、稠密的星云，却让物理学家们不得不运用微积分等高级手段来研究。这种整数的离散性，不仅优在易于处理，也优在其可以用于类比连续的对象。连续函数的Taylor公式似乎难以理解，但若类比到数列上，却也是让人一目了然。离散性的优点可见一斑。

随着历史的车轮滚滚向前，数学也在不断发展，“1+1为什么等于2”这样深刻的问题也就应运而生。整数终于迫切需要一个定义了。略出人意料的是，整数的定义，却是和数(count)几乎没什么关系了。现在数学界公认的自然数集Z的定义由Peano给出，被称为Peano公理：

1.0是自然数。

2.对于任意自然数a，存在唯一a的后继数a′，且a′也是自然数。

3. $\displaystyle \forall m \forall n(m=n \leftrightarrow m ^\prime=n^\prime)$ 4.0不是任何自然数的后继数。

5.已知集合K，如果 $\displaystyle 0\in K$ 且 $\displaystyle n \in K \rightarrow n^ \prime \in K$ ，则K=Z

以上即为Peano公理的内容。

这则公理的本质，是以递推关系定义整数。就像那多米诺骨牌一般，我们定义了第一个自然数0，便轻触那块居首位的多米诺骨牌，整数便由“后继数”这一递推关系，被一直定义到了无穷远。

这里再指出一点，正如我们之前所讲，“集合”是一切定义的源头。自然数也不例外。事实上，0被定义为空集，而后继数被定义为 $\displaystyle n^\prime =n\cup \{n\}$ 。

令人咋舌的是，自然数用来数(count)的功能，却是在自然数被定义之后，才出现的。也就是说，历史上，是由数(count)来定义自然数，而逻辑上，却是由自然数来定义数(count)：

对于集合A，如果存在一个自然数n，使得存在一个由A到n的双射，则称n为A的基数(cardinal)。

让我们理解一下这个定义。这个定义中存在一个比较深奥的对象：“双射"。什么是双射呢？我们的考试卷和我们自身之间一一对应的关系就是双射。现在，我们刚刚进行了一场考试。监考老师并不知道我们考场的人数，那有什么方法知道试卷的份数和人数是否相等呢？一个比较笨的方法，是一个一个人地数，再一张试卷一张试卷地数，如果数目相等，就说明份数和人数相等。还有一种方法，对着试卷，喊试卷上的名字。最终问一下考场中有谁没被报到名字，或是有哪个名字没对应的人，就说明份数和人数不等。那么第二种方法，便是我们定义基数的方式。我们容易由数学归纳法得出，自然数n中元素的“个数”与我们生活中的个数是相同的含义，自然数n就含有n个元素。那么建立起双射，就代表该集合也有n个元素。这便是数(count)的定义:建立双射。

讲完数(count)和自然数的关系,我们再回到自然数本身：

回想起记忆中那个永远是大太阳天的夏天，还是小学生的我们坐在教室里，心中永远是满腔的欢乐。耳边听着数学老师枯燥的话语“ 一个苹果和一个苹果放在一起，就变成了两个苹果 "，脑中却想着今晚电视上动画片该是播到哪个剧情……

就在这懵懂的少年时，我们第一次了解了“ 加法 "(addition)

但在严谨的大数学家面前，这样对加法的定义并不完全。这只能定义1+1，以至1000+1000，但终究是有限的。如何对无穷的自然数定义加法，这就只能靠递推了——也就类似于我们上述定义自然数的方法。

对于自然数n和m：

0+n=n

$\displaystyle n^\prime+m =(n+m)^\prime$

上述两条定律完全定义了加法。

如果过于抽象，我们不妨就用这两条证明一下“伪"哥德巴赫猜想：1+1=2

$\displaystyle 1+1=0^\prime+1=(0+1)^\prime=1^\prime=2$

大概就写到这里吧。