上下四方曰宇，古往今来曰宙。世间如此之大，而在你心之外的所有地方，都有我的身影。

从切线到椭圆，从子集到极大值，数学中大部分对象以及它们的行为，用我们高中知识都可以描述。然而，有一种行为我们目前还不懂得如何描述，即：无限接近。

开头所写的一句话，也是一种无限接近的情况。我无限接近你的心，却从未在你的心中出现过，这样的行为确实难以描述。

在数学中也有类似的行为。

拓扑

如图，是一个平面S。平面内有三个区域：白色外部，黑色边界，蓝色内部。黑色边界和蓝色内部共同组成一个平面点集P。我们任取这个P内的一个点，用人眼观察，很容易分辨出这个点属于边界还是内部。但是，用数学的语言去判断的时候，却感到有些难度。我们发现，蓝色区域内的点，可以无限接近黑色区域，却又可以不属于黑色区域。这该如何描述呢？这里，我们便需要找到特定区域内的点的共性。蓝色内部和黑色边界中的点的区别，似乎很好用语言描述：蓝色内部的点，距离黑色边界的距离永远大于0，而黑色边界中的点，到黑色边界的距离等于0.

我们不妨把这个点集P想象成一座大的城池。黑色边界便是城墙。你有一把可以任意调节射程的弹弓。在城内（蓝色内部），你总可以调节弹弓的射程，使得你无论朝哪个方向发射弹子，都会仍然落在城内。具体的方法便是测得你所在的位置距离黑色边界的距离的最小值，然后使弹弓的射程小于那个最小值即可。由于我们之前讲到，蓝色内部的点，距离黑色边界的距离永远大于0，所以这种方法是可行的。

那么黑色边界上的点该如何描述呢？我们设想一下城外的敌军射手要攻城，如果不从战略上考虑，那么只要登上城墙上任意一点，均可实现向城内的攻击；而守城的射手，在城墙上的任意一点，也可实现向城外的攻击。用比较绕口的话来说，就是在城墙上的任意一点，用任意射程的弓，总存在一个方向，使得箭落在城内，也总存在一个方向，使得箭落在城外。

我们将这种判定方法用数学语言描述，需要引入一个 邻域 (neighborhood)的概念：

对于任意一点p，它的半径为r的邻域 $\displaystyle N_r(p)=\{q|d(p,q)<r\}$ ,其中 $\displaystyle d(p,q)$ 表示p、q之间的距离。

所谓的邻域，即我们刚刚所说的弹弓、弓箭的射程。

接下来，我们便可以定义P的内点（即蓝色内部的点）和边界点（即黑色边界的点）了：

已知 $\displaystyle p \in S$

若 $\displaystyle \exists r>0,s.t.N_r(p) \subseteq P$ ,则称p为P的 内点 (interior point)

若 $\displaystyle \forall r>0,\exists q \neq p\wedge s\ne p,s.t.q,s \in N_r(p) \wedge q \notin P\wedge s\in P$ ,则称p为P的 边界点 (boundary point)

容易知道，边界点和内点不可能为同一个点。

这便是一例描述“无限接近”的例子。

集合

我们再将这个例子特殊化为一维的：

1和集合 $\displaystyle \{x|x=\frac{n-1}{n},n \in N^*\}$ 之间的关系，再如2和开区间(1,2)的关系。我们不妨仔细研究一下第二个例子。

容易知道，2是集合(1,2)的边界点。而且，在一维数轴中， $\displaystyle d(p,q)=|p-q|$ .那么，可以这样推出2来：

如果 $\displaystyle m\in R,s.t.\forall \epsilon >0,\exists x \in (1,2),y \notin (1,2),s.t.|x-m|< \epsilon,|y-m|< \epsilon$ ,则m=1或2.

但在一维中，由于偏序关系（即大小关系）可以方便使用，我们的定义可以大大简化。

我们回想一下，对于闭区间[1,2],我们可以很容易得出2与其的关系：如果 $\displaystyle m \in [1,2],s.t. \forall x \in [1,2],m\ge x$ ,那么m=2.

我们发现，运用 $\displaystyle m\geq x$ 这个条件，可以把我们刚刚啰嗦的定义中的y给去掉，并且得出唯一的2而非1或2.所以，我们可以这样定义一个集合的 上确界 (least upper bound)：

已知实数集 $\displaystyle E$ ,如果数m满足 $\displaystyle \forall x \in E,m\geq x$ 且 $\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists x \in E,s.t.m-\epsilon <x$ ,则称m为集合E的上确界。

这样的定义，便是我们在一维情况下描述“无限接近”的一个比较规范的方法。

这里留一个小思考给大家:

如果我们现在只知道有理数。我们将有理数集分为两部分A和B，使得 $\displaystyle \forall x\forall y\left( \left( x\in A\wedge y\in B \right) \rightarrow x<y \right) $

那么A的上确界和B的下确界的存在情况共有几种？

数列

上述的“无限接近”的过程，只是一种静态的过程。运动是一切物体的绝对状态。了解了静态的过程，我们便可以探寻动态的过程：

我们知道，数列 $\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ 当n趋于无穷时， $\displaystyle a_n$ 趋于0.这是我们初中就知道的。从图像上也可以轻易看出来：

这种无限接近的情形，却又比较难描述了。

那我们从反面来思考。为什么我们不说 $\displaystyle a_n$ 趋于0.1呢？当n＞20的时候， $\displaystyle |a_n-0.1|\ge 0.1-|a_n|=0.1-\frac{1}{n}>0.05$ ,当n越来越大的时候，

与0.1的差总是大于0.05

这正如鲁迅笔下的“厚障壁”一般，彻底否认了0.1是 $\displaystyle a_n$ 的极限。

用这种方法去想，如果 $\displaystyle a_n$ 不趋于a，那么:

$\displaystyle \exists N\in R,s.t.\forall n >N,|a_n-a|>k$ ,其中k是正常数。

通过合理的类推，我们完全可以定义一个数列的极限:

若对于常数a, $\displaystyle \forall \epsilon>0,\exists N(\epsilon)\in R,s.t.\forall n>N,|a_n-a|<\epsilon$ ,其中 $\displaystyle N(\epsilon)$ 是关于 $\displaystyle \epsilon$ 的函数，则称 $\displaystyle a_n$ 收敛于a，记为 $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}a_n=a$

下面我们举一个例子：证明 $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}\frac{(-1)^n}{n}=0$

$\displaystyle \forall \epsilon>0$ ,由于 $\displaystyle |a_n-0|=\frac1n$ ,故取 $\displaystyle N=[\frac1\epsilon]$ ,则 $\displaystyle |a_n-0|<\epsilon$

函数

以上讨论的是数列的极限，即：定义域为离散的，值域为稠密的一种特殊的函数。我们不妨简单地看一下一般的函数的极限如何处理：

由于函数在定义域上的稠密性，故除了自变量趋于无穷以外，自变量趋于任何值时，都可能存在极限。比如 $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle x \to 0$ 时就存在极限。

这时我们该如何处理呢？

类似我们刚才对数列极限的讨论，我们依然可以从反面去考虑。

比如说，对于函数 $\displaystyle f(x)=x^2$ ，在 $\displaystyle x \to 2$ 时，容易知道 $\displaystyle f(x) \to 4$

那为什么不是说 $\displaystyle f(x) \to9$ 呢？

因为 $\displaystyle |9-x^2|=|5+(2-x)(2+x)|$ ,当 $\displaystyle |2-x|<0.5$ ,即 $\displaystyle 1.5<x<2.5$ 时，

$\displaystyle |9-x^2|>|5-0.5*(2.5+2)|=2.75$

同样地，这也产生了一个“厚障壁”。

类似于数列的讨论，我们也可以得到函数极限的定义:

若对于常数a和 $\displaystyle x_0$ , $\displaystyle \forall \epsilon>0,\exists \delta(\epsilon)\in R,s.t.\forall |x-x_0|<\delta,|f(x)-a|<\epsilon$ ,其中 $\displaystyle \delta(\epsilon)$ 是关于 $\displaystyle \epsilon$ 的函数，则称 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x \to x_0$ 时趋于a，记作 $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=a$

最后

有人知道我为什么把专栏头像设为L(u)么？大家不妨来猜猜看嘛。