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上篇文章，我们通过从反面去思考的方式，探索出了极限的定义，请允许我再抄录于此：

数列极限：

对于数列 $\displaystyle \{a_n \}$ 和常数 $\displaystyle a$ ,若 $\displaystyle \forall \epsilon >0 ,\exists N(\epsilon) \in R,s.t.\forall n>N(\epsilon),|a_n-a|<\epsilon$ ，其中 $\displaystyle N(\epsilon)$ 为关于 $\displaystyle \epsilon$ 的函数，则称数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 收敛于 $\displaystyle a$ ，记作 $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}a_n=a$

函数极限：

对于函数 $\displaystyle y=f(x)$ 和常数 $\displaystyle x_0$ 、 $\displaystyle a$ ,若 $\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta (\epsilon)\in R^+,s.t.\forall|x-x_0|<\delta(\epsilon)\wedge x \neq x_0,|f(x)-a|<\epsilon$ ,其中 $\displaystyle \delta(\epsilon)$ 为关于 $\displaystyle \epsilon$ 的函数,则称 $\displaystyle x \to x_0$ 时， $\displaystyle f(x) \to a$ ，记作 $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=a$

数列极限

数列，由两个对象组成：一个是角标n，一个是数列值 $\displaystyle a_n$ 。极限这种高端的手段，当然涉及了数列的全部这两个对象。

我们不妨来分析一下定义： $\displaystyle \epsilon$ ，用于 $\displaystyle a_n$ 和a之间比大小，所以控制的是数列值向极限值接近的程度。而 $\displaystyle N(\epsilon)$ ，用于和n比大小，所以控制的是角标向无穷大接近的程度。一句话概括极限的定义：咱想多接近极限值，就可以多接近极限值。

这里需要注意的有几点：

第一，极限定义中数列值与极限值大小比较的 $\displaystyle \epsilon$ 可被 $\displaystyle f(\epsilon)$ 替换，其中 $\displaystyle f(\epsilon)$ 满足： $\displaystyle \forall \epsilon>0,f(\epsilon)>0$ 且 $\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0}f(\epsilon)=0$ 。

用一个简单的例子说明这一点：

下面证明如果一个数列存在极限，则极限唯一。即：

若 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n=a$ ， $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n=b$ ,则 $\displaystyle a=b$

证明：由题意，可得： $\displaystyle \forall\epsilon>0,\exists N_1(\epsilon) \in R,s.t.\forall n>N_1(\epsilon),|a_n-a|<\frac\epsilon 2$ $\displaystyle \forall \epsilon>0,\exists N_2(\epsilon) \in R,s.t.\forall n>N_2(\epsilon),|a_n-b|<\frac\epsilon 2$ 取 $\displaystyle N(\epsilon)=\max\{N_1(\epsilon),N_2(\epsilon)\}$ 则 $\displaystyle \forall \epsilon>0$ ,当 $\displaystyle n>N(\epsilon)$ 时， $\displaystyle |a-b|\leq|a_n-a|+|a_n-b|<\epsilon$ 。故 $\displaystyle |a-b|=0$ ，即 $\displaystyle a=b$

这点其实挺好理解的。也许看到我上面用 $\displaystyle f(\epsilon)$ 这种方式写比较费解，看到例子里的 $\displaystyle \frac\epsilon2$ 也许就比较清晰了吧。

其实这样写，是为了最终结果那一步比较好看，没多大实际用处。

第二， $\displaystyle N(\epsilon)$ 为关于 $\displaystyle \epsilon$ 的函数。你不能说，对于找不到一个固定的常数N，使这个命题为真，所以极限不存在。举个通俗的例子来说：《三体》中的大低谷时代，资源越来越紧缩，但对于每一个时间点对应的资源紧缩程度来说，人类总有对应的方法存活。资源的紧缩程度，就是 $\displaystyle \epsilon$ ，人类对应的方法，就是 $\displaystyle N(\epsilon)$ 。事实上，并不存在某个固定的方法，使得对于任意资源紧缩程度，人类都可以生存。生存的唯一方式，就是根据环境条件而改变策略。

第三， $\displaystyle \forall n> N(\epsilon)$ 一句。这个有些人会一扫而过，事实上也有需要注意的地方。用比较费解的方法解读这句话，意思是：角标以 $\displaystyle f(n)=n$ 的正比例关系趋于无穷。一般地，可以有 $\displaystyle \lim_{b_n \to +\infty}a_n$ 的形式。定义即为， $\displaystyle \forall \epsilon>0,\exists N(\epsilon)\in R,s.t.\forall b_n>N(\epsilon),|a_n-a|<\epsilon$ 。事实上， $\displaystyle \lim_{\frac1n \to +\infty}a_n$ 与 $\displaystyle \lim_{n^2 \to +\infty}a_n$ 不一定相同，所以不同的 $\displaystyle \{b_n\}$ 产生的结果可能是不同的。但是，有一个定理可以阐述如下：

若数列 $\displaystyle \{b_n\}$ 满足 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}b_n=+\infty$ (关于极限为无穷的定义请看后文)，且 $\displaystyle \lim_{b_n \to +\infty}a_n=a$ ，则 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n=a$ 。

证明：由题意： $\displaystyle \forall M>0,\exists N_1(M)\in R,s.t.\forall n>N_1(M),b_n>M$ $\displaystyle \forall \epsilon>0,\exists N_2(\epsilon)\in R,s.t.\forall b_n>N_2(\epsilon),|a_n-a|<\epsilon$ 取 $\displaystyle N(\epsilon)=N_1(N_2(\epsilon))$ ,则 $\displaystyle \forall \epsilon>0,\exists N(\epsilon)\in R,s.t.\forall n>N(\epsilon),|a_n-a|<\epsilon$

第四， $\displaystyle |a_n-a|<\epsilon$ 一句。切记不可随意替换角标n。事实上， $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_{t_n}=a$ 的定义即为 $\displaystyle \forall \epsilon>0,\exists N(\epsilon)\in R,s.t.\forall n>N(\epsilon),|a_{t_n}-a|<\epsilon$ .这替换了角标之后，实际上是取了一个 子列 (subsequence),子列极限与数列极限不一定相等。比如， $\displaystyle a_n=(-1)^n$ ,那么显而易见 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n$ 不存在，而 $\displaystyle \lim_{n \to + \infty}a_{2n}=1$ .事实上，有这么一个定理可以阐释子列极限与数列极限的关系：

若 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n=a$ ,则对于任意递增正整数列 $\displaystyle t_n$ ， $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_{t_n}=a$

这里不再证明。

函数极限

和数列极限类似，函数极限也有一些注意点。和上面重复的我就不再赘述。

这里要注意的点有：

第一， $\displaystyle \forall |x-x_0|<\delta (\epsilon) \wedge x \neq x_0$ 一句。这里有一个重点，即为这里的对于任意x，x的取值范围是什么？从高数的定义上来说，x的取值范围是 $\displaystyle \{x||x-x_0|<\delta (\epsilon),x\neq x_0,x \in R\}$ .

而数学分析的定义则不然。

如果E是函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的定义域，而 $\displaystyle E^\prime$ 是E中所有极限点构成的集合。所谓极限点，定义如下：若p为E的极限点，则p的任意邻域都包含E中一个不等于p的元素q。如果理解不了，那就认为，对我们学习的一般的函数而言， $\displaystyle E^\prime$ 就是它的定义域E。

那么从数学分析的定义上来说，x的取值范围是 $\displaystyle \{x||x-x_0|<\delta (\epsilon),x\neq x_0,x \in E^\prime \}$

两者有何区别呢？我们来看一道特别特别特别著名的考研题：

求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin (x \sin \frac1x)}{x \sin \frac1x}$

具体解法我们就略过了，结果最终算出来是1.

但这个答案其实是有争议的。

按照高数的定义，我们记 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin (x \sin \frac1x)}{x \sin \frac1x}$ ,那么：

$\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta (\epsilon)\in R^+,s.t.\forall|x|<\delta(\epsilon)\wedge x \neq 0,|f(x)-1|<\epsilon$

根据我们刚刚所讲，这里x的取值应为 $\displaystyle D=\{x||x|<\delta (\epsilon),x\neq0,x \in R\}$

而对于任意 $\displaystyle \delta (\epsilon)>0$ 来说，只要 $\displaystyle k>\frac{1}{\pi \delta (\epsilon)}\wedge k \in Z$ ，那么 $\displaystyle x_k =\frac{1}{k \pi}$ 就一定在D内。

但是， $\displaystyle f(x_k)$ 不存在，就满足不了 $\displaystyle |f(x_k)-1|<\epsilon$ 这一条件了。

然而，用数学分析的定义，就可以很好地规避这一问题。

第二， $\displaystyle x \neq x_0$ 和 $\displaystyle |f(x)-a|<\epsilon$ 两句：都暗示我们，函数在某个点处的极限值，与该点处的函数值无关。比如说，对分段函数 $\displaystyle f(x)=1(x \neq 0)$ , $\displaystyle f(x)=0(x=0)$ 而言， $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=1$ .再如，即使该点无定义，亦可有极限值，比如说 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

第三，切忌随意变量替换。已知， $\displaystyle \lim_{x \to x_0}u(x)=u$ , $\displaystyle \lim_{x \to u}f(x)=a$ ,然而， $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(u(x))$ 未必等于a。

举例为：

$\displaystyle u(x)=0$ ,分段函数 $\displaystyle f(x)=1(x \neq 0)$ , $\displaystyle f(x)=0(x=0)$ 那么 $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(u(x))=0$ $\displaystyle \lim_{x \to x_0}u(x)=0$ , $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=1$

摘自《实分析中的反例》

同样来自《实分析中的反例》，我们有如下定理：

如果函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle u(x)$ 满足如下条件之一：

1. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=u$ 处连续， $\displaystyle \lim_{x \to x_0}u(x)=u$

2. $\displaystyle \lim_{x \to u}f(x)=a$ , $\displaystyle \lim_{x \to x_0}u(x)=u$ ,且在集合 $\displaystyle \{x|x \in N_r(x_0) \wedge x \neq x_0\}$ 中有 $\displaystyle u(x)\neq x_0$

则： $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(u(x))=\lim_{x \to u}f(x)$

（关于连续的概念会在之后的文章里提到。）

补充定义——无穷大

对于数列 $\displaystyle \{a_n\}$ ,

若 $\displaystyle \forall M,\exists N(M)\in R,s.t.\forall n>N(M),a_n>M$ ,则记为 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n=+\infty$

若 $\displaystyle \forall M,\exists N(M)\in R,s.t.\forall n>N(M),a_n<M$ ,则记为 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n=-\infty$

其中 $\displaystyle N(M)$ 为关于M的函数。

函数的定义类似，这里不再赘述。

以上定义即为极限为无穷的情形。类似于上篇文章我们从反面考虑的方式，我们能很容易地得出这种定义：要多大就有多大；要多小就有多小。

这里值得注意的是，“极限存在”与“收敛”这两个词汇。一般来说，“收敛”这个词汇，只用于一个数列存在极限值且极限值为有限常数。“极限存在”在不同书目的定义中有些不同。收敛的数列必然极限存在。但有的书目为了明确，往往还会说“该数列极限存在且不为无穷大”。

最后补充一点，极限可以为有限常数，可以为无穷大，也可以不存在极限。比如说 $\displaystyle a_n=(-1)^n$ ,就不存在极限。