10.5 第一次更新，使一些语言更加严谨，并增添了Newton-Leibniz公式的离散化表示。

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写在前面

这么久没更了，大家肯定都以为我弃坑了。。实际上是因为升学的原因，许多事都要办，就把续坑的事拖到了今天。。

今天我要介绍的，从运算上来看十分简单，因为这是由“平凡”到“不平凡”的类比。我一直觉得，我们数学的学习，不需要特别在短时间内学得特别高深。从多角度理解所学知识，便是一个巩固知识体系的好方法。本篇文章就是讲的最简单的——从平凡的、退化的例子来理解知识。

大学的数学学习中，绝大多数都是和定义在实数集上的函数有关的知识。比如说，零点定理，微积分，等等。有些十分容易理解，有些却又仿佛是匪夷所思，让人不知所云。就我而言，用离散化的观点去研究这些问题，也许是一个小tip。

说了这么多，“离散”(discrete),究竟是什么？感性地说，一眼望去“茫茫人海”不是离散，而一个一个“真实的人”是离散。你如果要想知道一国之大众的心理，从整体上去判断往往需要异于常人的高瞻远瞩，而一个人一个人地抽查或普查，却是一个简单直观的方法。这，就是离散。

从理性上说，离散的集合，就是 至多可数 (almost countable)且无 聚点 （condensation point）的集合。实数集、有理数集都不离散，整数集离散。事实上，整数集上的函数——数列正是我们研究函数的有力助手。

正题

为了和函数相类比，不同于一般从 $\displaystyle N^+ \rightarrow R$ 的数列的定义，我们这里定义的 数列 为：从 $\displaystyle Z\rightarrow R$ 的函数。记为 $\displaystyle \left\{ a_n \right\}$ .也就是说，这里 $\displaystyle a_{-1}$ , $\displaystyle \sum_{i=-\infty}^{+\infty}{a_i}$ 都是合法的记号。（当然，我们也可以把函数的定义域限制在 $\displaystyle [0,+\infty)$ ,但这样就会产生一些毫无必要且繁杂的端点讨论。）

完备性

如果一个集合 $\displaystyle X$ 满足以下6个性质之一，那么称这个集合是完备集：

1.对于任意 $\displaystyle B\subset X$ ，如果 $\displaystyle \exists x\in X$ ，使得对于任意 $\displaystyle b \in B$ 有 $\displaystyle b \leq x$ ,那么 $\displaystyle \exists x_0 \in X$ ,使对于任意 $\displaystyle b \in B$ ,有 $\displaystyle b \leq x_0$ ,且 $\displaystyle \forall x < x_0\wedge x\in X$ , $\displaystyle \exists b_0 \in B$ ,使 $\displaystyle b_0 \geq x$ 。此 $\displaystyle x_0$ 记作 $\displaystyle {\sup \\X} { \left\{ B \right\}}$ ,称为集合B在X中的上确界。

2.对于任意从 $\displaystyle N^+ \rightarrow X$ 的数列 $\displaystyle \left\{ a_n \right\}$ ,若其单调递增且 有上界 （即 $\displaystyle \exists x \in X,\forall n \in N^+,a_n \leq x$ ）,那么这个数列必然 有极限 （即 $\displaystyle \exists a \in X,\forall \epsilon \in \Delta X,\exists N \in N^+,s.t.\forall n > N,|a_n-a|<\epsilon$ ）。【关于 $\displaystyle \Delta X$ 的定义，会在后面的 极限 章节中给出】

3.设从 $\displaystyle N^+ \rightarrow X$ 的数列 $\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}$ ,满足 $\displaystyle \forall n \in N^+,a_n \leq b_n$ ,定义 X上的闭区间 $\displaystyle I=[a,b]$ 为 $\displaystyle \{x|x \in X \wedge a \leq x \leq b\}$ .那么若 $\displaystyle I_n=[a_n,b_n]$ ,则 $\displaystyle (\bigcap_{i=1}^{+\infty}I_n) \cap X$ 非空，且只有一个元素。

4.对于任意X上的闭区间 $\displaystyle I=[a,b]$ ,定义其一个覆盖为满足 $\displaystyle \bigcup_{}^{} S \supset I$ 的集合S。（ $\displaystyle \bigcup_{}^{}S$ 表示 $\displaystyle \{x|x\in D,D\in S\}$ ）.那么在I的所有覆盖中，总能找到一个 有限的 覆盖。（即S的势小于等于整数集）

5.对于任意从 $\displaystyle N^+ \rightarrow X$ 的数列 $\displaystyle \{a_n\}$ ,若其有界，则必存在指标列 $\displaystyle \{n_k\}$ ,使得子列 $\displaystyle \{ a_{n_k} \}$ 收敛。

6.对于一个从 $\displaystyle N^+ \rightarrow X$ 的数列 $\displaystyle \{a_n\}$ ,若 $\displaystyle \forall \epsilon \in \Delta X,\exists N \in N^+,s.t.\forall m,n > N,|a_m-a_n|<\epsilon$ ,则该数列收敛。

这6个定理互相等价，被称为实数集的六大完备定理。这6条定理的互推，也是令数学系大一学生头疼的一个难题。对于我们来说，光看懂这6条定理已经够吃力了，再互推？我还是躲进我的小被几里吧…

下面，就是我们的离散化武器——离散集发挥作用的时候惹！

我们设离散集 $\displaystyle D=\{...,d_{-2},d_{-1},d_{0},d_1,d_2,...\}$ ,其中满足 $\displaystyle \forall i \in Z$ (或者Z上的闭区间), $\displaystyle d_i < d_{i+1}$ (考虑到D的至多可数性，这里如果取小于等于，就实属无用。此外，这里能从小到大地写，是与这个集合无聚点有关的。这里不证。).举个例子， $\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ 和 $\displaystyle \{1,2,3\}$ 都是满足条件的离散集。

事实上，这个离散集D也具有完备性。

我们用这个离散集来考察第一条定理：

这条定理的主体是一个“如果……（条件），那么……（结果）”的结构。我们来看它的条件，实际上说的就是B在X中有上界。也就是说，X中有元素可以大于等于B中的所有元素。容易知道，对于离散集D的子集B，如果B满足这个条件，那么离散集B的形式必然是 $\displaystyle \{...,d_{k-2},d_{k-1},d_k\}$ ， $\displaystyle k \in Z$ .我们这里假定D中元素的下标是遍历负无穷到正无穷的。如果是其他情况，会有很平凡的类似结果。

我们再来看这条定理结构中的结果，它阐释了B一定有上确界这件事。对于有理数集来说，这点并不一定，比如说 $\displaystyle \{1,1.4,1.41,1.414,...\}$ 这一个有理数集上的集合，虽然有上界，比如说2，但在有理数集中并没有上确界，事实上，它的上确界是无理数 $\displaystyle \sqrt{2}$ 。而离散集则不存在这个问题。很显然， $\displaystyle d_k$ 即为B的上确界。

是不是特！别！直！观！

其他5条定理类似，也可以用离散化观点去看懂。这里不再赘述，留给读者当打发时间的工具。

极限

在刚才完备性的处理中，我们已经用到了极限的概念。并且，我们不加说明地引入了 $\displaystyle \Delta X$ 这一记号。这里，我们给出其定义：

$\displaystyle \Delta X=\{x|x=|x_1-x_2|,x_1,x_2\in X,x_1 \neq x_2\}$

称由 $\displaystyle Z \rightarrow X$ 上的数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 有极限a，当且仅当

$\displaystyle \forall \epsilon \in \Delta X,\exists N\in Z,s.t.\forall n >N,|a_n-a|<\epsilon$ 。此时记作 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty}{a_n}=a$

当X为实数集时， $\displaystyle \Delta X$ 自然变成了全体正实数的集合，极限的定义也就变成了我们常见的定义。

当D为离散集时，我们想证明，如果极限存在，那么存在 $\displaystyle N_0 \in Z$ ,使得 $\displaystyle \forall n >N_0,a_n=a$ .

用反证法。如果不存在这样的 $\displaystyle N_0$ ，那么对于任意 $\displaystyle \epsilon \in \Delta D$ ,对于任意 $\displaystyle N \in Z$ ,存在 $\displaystyle n_0 >N$ ,使 $\displaystyle 0<|a_n-a|<\epsilon$ ，即 $\displaystyle a-\epsilon <a_n<a+\epsilon$ 且 $\displaystyle a_n \neq a$ 。这与 $\displaystyle D$ 无聚点相矛盾。

由以上证明可知，对离散集而言，极限变得十分平凡。

介值定理

对于函数，我们知道它的介值定理的表述为：

对于在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续的函数 $\displaystyle y=f(x)$ ,对于任意 $\displaystyle m \in [\min\{f(a),f(b)\},\max \{f(a),f(b)\}]$ ,存在 $\displaystyle x_0 \in [a,b]$ ,使 $\displaystyle f(x_0)=m$

我们知道，连续是一个比较强的条件。那么对于离散的数列来说，也是有所谓的“零点定理”，不过同样要一些比较强的条件。

设D为离散集。对于从 $\displaystyle Z \rightarrow D$ 的数列 $\displaystyle \{a_n\}$ ，如果在Z上的一个闭区间 $\displaystyle [p,q]$ 有 $\displaystyle \Delta \{a_n\}_{n=p}^{q}\subset\{x|x=kx_0,k\in N\}$ ,其中 $\displaystyle x_0\in \Delta D$ ,那么对于任意 $\displaystyle m \in \{x|x=\min\{a_p,a_q\}+kx_0,0 \leq k \leq \frac{|a_p-a_q|}{x_0},k\in Z\}$ ,存在整数 $\displaystyle i \in [p,q] $ ,使 $\displaystyle a_i=m$ 。

虽然这个表述很麻烦，甚至难以理解，但一个简单的推论却是非常有用的：

如果数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 中，后一项减前一项要么是1要么是-1，那么在Z上的一个闭区间 $\displaystyle [p,q]$ 中，如果 $\displaystyle a_p < a_q$ ,那么 $\displaystyle a_p +k$ 总能被取到，其中 $\displaystyle 0 \leq k \leq a_q-a_p$ 。

用形象的语言来说，你眼前的楼梯上有一坨屎。如果你每次只能上一级台阶，那你肯定会踩到屎。

微分与差分

我们熟知：对于函数 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f^\prime(x_0)$ 称为该函数在 $\displaystyle x=x_0$ 处的 导数 (derivative), $\displaystyle dy=f^\prime (x)dx$ 称为其 微分 (differential)。

类似地，我们有从 $\displaystyle Z\rightarrow R$ 的数列 $\displaystyle {a_n}$ 在 $\displaystyle n=n_0$ 的差分：

右差分 $\displaystyle \Delta_+a_{n_0}=a_{n_0+1}-a_{n_0}$ ,左差分 $\displaystyle \Delta _-a_{n_0}=a_{n_0}-a_{n_0-1}$

这篇文章中，如果不加特殊说明，默认差分为右差分。

如果要与导数的写法类似，我们可以有如下改写：

$\displaystyle \frac{\Delta a_n}{\Delta n}=\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)-n}$

数列 $\displaystyle \{\Delta a_n\}$ 称为 $\displaystyle \{a_n\}$ 的（右）差分函数，简称（右）差分。

数列 $\displaystyle \{\Delta (\Delta a_n)\}$ 称为 $\displaystyle \{a_n\}$ 的二阶差分，记作 $\displaystyle \{\Delta^2a_n\}$

类似地，我们可定义n阶差分。

由于离散的简单性，我们可以直接写出k阶差分公式：

$\displaystyle \Delta ^k a_n=\sum_{i=0}^{k}{C_k^i(-1)^{k-i}a_{n+i}}$

其实，我们可以通过这个来写出k阶导数公式：

$\displaystyle f^{(k)}(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta^kf(a_0)}{(\Delta x)^K}$ ,其中 $\displaystyle a_n=x_0+n\Delta x$

有了这些定义，我们可以很容易地发现差分和导数，或者说微分的相似点：

$\displaystyle (f(x)+kg(x))^\prime =f^\prime (x)+kg^\prime (x)$ , $\displaystyle (fg)^\prime =f^\prime g+f g^\prime$

这两个公式的证明都用到了一些高端的极限证明技巧。它们的平凡形式，即离散化数列形式如下：

$\displaystyle \Delta (a_n+kb_n)=\Delta a_n+k\Delta b_n$ , $\displaystyle \Delta (a_nb_n)=b_n\Delta a_n+a_{n+1} \Delta b_n=a_n\Delta b_n+b_{n+1}\Delta a_n$

数列乘法的差分公式中出现了 $\displaystyle a_{n+1}$ 这一项，这其实是一个不太平凡的发现。由于函数的连续性，把这往后移一项的特点掩盖了。

对于高阶导数，我们有Leibniz公式：

$\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}}$

那么对于高阶差分，我们有 证明方法几乎完全类似，形式也几乎完全类似 的公式：

$\displaystyle \Delta ^{n}(a_nb_n)=\sum_{k=0}^{n}{C_n^k \Delta ^{n-k}a_{n+k}\Delta ^{k}b_n}$

事实上，对于不熟悉Leibniz公式的同学来说，用简单的代数运算法则推导数列高阶差分公式反而更易于类比。

接下来，便是用离散化观点看问题的最有名的例子：Taylor公式。

对一个性质充分好的函数来说（这里不强调其性质是由于数列的形式确实没太多性质需求）：

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}$

而对于一个数列来说，我们先给出结论：

$\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^{n-m}{C_{n-m}^k \Delta ^k a_m}$ ,其中m是一个小于n的整数（这里的小于是因为我们用的右差分）。

下面我们来说明这个类比的重要性，顺便讲一下证明数列形式的思路：

Taylor公式的系数其实并不那么重要，最重要的是其中传达出来的信息：如果已知一个函数在某点处的函数值，并且知道其在任意阶导数的值，那么这个函数被惟一确定。这踏马是什么操作啊！It doesn't make sense!

用数列的角度去看它，就清楚了许多：

从一个简单例子看起：

我已知 $\displaystyle a_m$ 和 $\displaystyle \Delta a_m$ ,求 $\displaystyle a_{m+1}$ .

这太显然了吧！不就是 $\displaystyle a_{m+1}=\Delta a_m+a_m$ 么！

那我们如果已知 $\displaystyle a_m,\Delta a_m$ 和 $\displaystyle \Delta ^2 a_m$ ,能否求 $\displaystyle a_{m+2}$ 呢？

答案是肯定的。

不妨设 $\displaystyle a_{m+2}=\Delta ^2 a_m+k_1 \Delta a_m +k_2 a_m$ ,直接带入 $\displaystyle \Delta^2 a_m =a_{m+2}-2a_{m+1}+a_m$ 和 $\displaystyle \Delta a_m=a_{m+1}-a_m$ 中，通过对比系数，可得 $\displaystyle k_1=2,k_2=1$ .

类似地，由于我们知道 $\displaystyle \Delta ^k a_n=\sum_{i=0}^{k}{C_k^i(-1)^{k-i}a_{n+i}}$ ，所以总可以用 $\displaystyle a_m$ 和在此处的k个高阶差分，来表示 $\displaystyle a_{m+k}$ ,具体的系数，列一个线性方程组就ok啦！

这就说明，通过在一个点处的值和在该点处的差分（导数），可以唯一确定这个数列（函数）。

积分与和分

作为微分的逆运算，不定积分也同样作为伤害万千学子的工具存在。

而差分，类似地，也有逆运算——和分：

对数列 $\displaystyle \{a_n\}$ ，如果存在数列 $\displaystyle \{b_n\}$ 满足 $\displaystyle a_n=\Delta b_n$ ,则称 $\displaystyle \{b_n\}$ 为 $\displaystyle \{a_n\}$ 的一个和数列。

有定理如下：

若 $\displaystyle \{b_n\}$ 、 $\displaystyle \{c_n\}$ 均为 $\displaystyle \{a_n\}$ 的和数列，则 $\displaystyle b_n-c_n$ 为常数列。

这个定理只需要特别简单的代数知识，留给读者作证明。

下面定义不定和分：

设 $\displaystyle \{b_n\}$ 为 $\displaystyle \{a_n\}$ 的一个和数列，则记 $\displaystyle \sum{a_n \Delta n}=b_n+C$ ,其中C是任意常数。

这里之所以要记 $\displaystyle \Delta n$ （它实际上等于1，所以可以不记），是为了和函数的不定积分相匹配。

与函数的不定积分类似，不定和分也有四则运算性质：

$\displaystyle \sum (a_n+kb_n)\Delta n=\sum a_n \Delta n+k\sum b_n \Delta n$ , $\displaystyle \sum b_n\Delta a_n=a_{n}b_n-\sum a_{n+1}\Delta b_n$ ，

$\displaystyle \sum a_n \Delta b_n\Delta n=\sum a_n \Delta b_n$

第三条性质，即微积分中的换元积分法，是显然的。

而定和分，我们早已接触，就是普通的和式，只不过我们这里用更科学的方式记它： $\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_i\Delta i$ 。

那么，大名鼎鼎的Abel求和，就是分部积分法的离散化形式：

$\displaystyle \sum _{i=m}^n b_i \Delta a_i=a_{n+1}b_{n+1}-a_mb_m-\sum _{i=m}^na_{i+1}\Delta b_i$ .

证明亦十分简单，留给读者。

微积分基本定理，即Newton-Leibniz公式， $\displaystyle \int_{a}^{b}f^\prime (x)dx=f(b)-f(a)$ ,很难直观地感受。一个求面积的公式居然和不定积分有关。但是我们如果将其离散化，却是十分容易理解的： $\displaystyle \sum _{i=m}^n \Delta a_i =a_{n+1}-a_m$ .这完全是一个简单的代数运算。

在这里说一句，《积分与和分》一目中，把求和用和式书写，纯属为了类比和版面要求。其实，将和式展开成普通的形式，反而更容易理解。

高维形式

函数，有n元m维函数。同样地，我们也可以有n元m维数列：

定义从 $\displaystyle Z^n \rightarrow R^m$ 上的数列为 $\displaystyle a_{\bold{z}}$ ,其中 $\displaystyle \bold z=(z_1,z_2,...z_n)\in Z^n$

对于高维形式的偏导数，全导数，重积分，Fubini定理等等，都可以有其离散化类比。这些类比，就留给聪明的读者们，开拓知识的眼界了！

最后

本文在我仓促之间写成，必有许多疏漏、错误，希望大家指出，不吝赐教！