在这篇文章里，我想主要谈两个问题：极限的定义和极限的换元法。并且在最后讲一个令人疑惑的问题。

极限的定义

首先，回忆一下我们的《高等数学》上对（一元函数）极限的定义：

如果 $\displaystyle \exists a \in R,s.t.\forall \epsilon >0,\exists\delta>0,s.t.\forall0<|x-x_0|<\delta ,|f(x)-a|<\epsilon$ ,则称 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x \to a$ 时极限存在，记作 $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=a$ 。

接着，我们来看一下Zorich的《数学分析》中对函数极限的定义：

设有函数 $\displaystyle f:E \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle A \in \mathbb{R}$ .如果对于任何 $\displaystyle \epsilon>0$ ,存在一数 $\displaystyle \delta >0$ ，使得对于满足 $\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta$ 的任何 $\displaystyle x\in E$ ,关系 $\displaystyle |f(x)-A|<\epsilon$ 成立，我们就（跟随柯西）说当x趋于a时，函数f趋于A，或说，A是函数f当x趋于a时的极限。

仔细看一下，这两者有何区别？

区别有二：

一，《高等数学》中对极限的定义里，并没有对函数f的定义域进行说明。事实上，我们在《高等数学》中做的函数的题里面，都是默认定义域为实数集的。

二，《数学分析》中对极限的定义里，在 $\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta$ 后加了一个限制条件 $\displaystyle x\in E$ ，这事实上也是与第一点相统一的。

那么，为什么数学分析中加了这句话呢？这两种极限会有差别么？

答案是，有的。

一个例子：

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\sin \frac{1}{x}}$

以《高等数学》上的定义来看，这个极限显然是不存在的，因为无论 $\displaystyle \delta$ 有多小，总会存在 $\displaystyle x=\frac{1}{k\pi}$ ,使得 $\displaystyle f(x)$ 无意义。

但是以《数学分析》上的定义来看，这个极限是（广义上）存在的。因为这个函数的定义域是 $\displaystyle \{x|x\neq \frac{1}{k\pi},k\in Z\}$ .那么就不会出现上述的情况。同时，我们可以算出这个极限为无穷。

从形的角度去理解这两种定义，我们会发现，《数学分析》上的定义实际是《高等数学》上定义的一种推广。我们知道，在平面直角坐标系中，横轴x轴和纵轴y轴都是 实数轴 ，所以我们在讨论极限的时候是按实数去逼近那个极限值的。但是，总有一些情况，我们会挖去实数轴上的某些点，这样函数的图像从实数上来看是间断的，但是事实上确实存在着一种“趋近”的现象，而这个现象并不能用《高等数学》上极限的定义去描述。但是，用了《数学分析》的定义，我们确实可以描述这种现象了。也就出现了我们常见的“按有理数去逼近”等方法。在《数学分析》中，为了强调这种定义域对极限的重要性，特地出现了更严谨的记号： $\displaystyle \lim_{E \ni x \to x_0}f(x)$ .

同时，我可以再举一个《数学分析》上这种定义必要性的例子：

$\displaystyle 2^\sqrt2$ 是什么？

在高中课本上，我们是计算 $\displaystyle 2^{1.4},2^{1.41},...$ 和 $\displaystyle 2^{1.5},2^{1.42},...$ ，发现这两个数列确实存在极限。然后由此定义了 $\displaystyle 2^\sqrt2$ .按函数极限的定义，这种行为显然无法描述。因为我们并不知道任何数的无理数次方的定义，也就无法在实数集上让自变量去逼近 $\displaystyle \sqrt2$ 。而如果用数列极限的方法，却只能用单独的数列 $\displaystyle 1.4,1.41,1.414,...$ 去逼近，但事实上，只要是趋向于 $\displaystyle \sqrt2$ 的数列，都会使这个极限存在。所以，自然地，我们用到《数学分析》上对极限的定义：讨论 $\displaystyle \lim_{Q \ni x \to \sqrt2}2^x$ .

由此，我们会发现许多极限的定理都需要更加精细地写出来：

极限的唯一性：

若 $\displaystyle \lim_{E \ni x \to x_0}f(x)=a_1$ , $\displaystyle \lim_{E \ni x \to x_0}f(x)=a_2$ ,则 $\displaystyle a_1=a_2$ .

海涅定理：

$\displaystyle \lim_{E \ni x \to x_0}f(x)=a$ 的充要条件是：

对于任意数列 $\displaystyle \{a_n\}$ ,若它满足 $\displaystyle \forall n\in N^*,a_n \in E$ 且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=x_0$ ,则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(a_n)=a$ .

极限的复合运算法则：

设函数 $\displaystyle f:Y \to R$ , $\displaystyle g:X \to Y$ ,且 $\displaystyle \lim_{X\ni x \to x_0}g(x)=u_0$ , $\displaystyle \lim_{Y \ni u\to u_0}f(x)=a$ ,且存在一个 $\displaystyle x_0$ 的去心邻域 $\displaystyle \overset{\circ}U(x_0)\cap X$ ,使对于任意这里面的元素x满足 $\displaystyle g(x)\neq u_0$ ,那么 $\displaystyle \lim_{X \ni x\to x_0}f(g(x))=\lim_{Y\ni u \to u_0}f(u)=a$

极限的换元法

在我们处理极限过程中，总是很自然地运用换元法：比如说，我们常令 $\displaystyle t=\frac1x$ ,这样 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}$ 就可以变成 $\displaystyle \lim_{t \to 0}$ .但是，让我们思考一下极限的换元法的本质是什么。我们为什么可以用极限的换元法？

事实上，极限的换元法是极限的复合运算法则。在我们令 $\displaystyle t=\frac1x$ 的时候，实际上是构造了一个复合函数 $\displaystyle f(t(x))$ ,也就是说， $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}f(t)$ .但是，最关键的一步是 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(t)=\lim_{t\to t_0}f(t)$ ,或者写的更明白一些：

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(t(x))=\lim_{t \to t_0}f(t)$ .

这正是极限的复合运算法则。所以在不满足极限的复合运算法则的时候，我们并不能使用极限的换元法。（不过正常人一般不会那样使用换元法23333）举个例子：

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 1&x=0\\ 0&x\neq0 \end{cases}$ ,求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x\sin \frac1x)$ 。

我们设 $\displaystyle g(x)=x\sin \frac1x$ ，那么 明眼人都能看出来， $\displaystyle \lim_{R/\{0\} \ni x \to 0}f(g(x))$ 并不存在。因为在x趋于0的过程中，g(x)无数次穿过x轴，导致f(x)总是会有值跳出来，极限并不存在。如果我们运用换元法 $\displaystyle t=x\sin \frac{1}{x}$ ，则 $\displaystyle \lim_{t \to 0}f(t)=0$ .这样显然是荒谬的。

最后

最后，给出一个令人疑惑的问题：

我们知道， $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2\sin \frac1x&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处导数存在且为0（用导数的定义做），但是，在区间 $\displaystyle [0,x]$ 上运用Lagrange中值定理： $\displaystyle \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{x}=2\xi \sin \frac 1\xi-\cos \frac1 \xi$ ,并且由夹逼定理可以知道， $\displaystyle \lim_{x\to 0}\xi=0$ .于是 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin \frac1x}{x}=\lim_{\xi \to 0}2\xi \sin \frac 1\xi-\cos \frac1\xi$ 不存在。

这个实际上是因为错误地运用了极限的换元法，或者说，复合运算法则。它错在了最后一步。最后的那个极限未必不存在。我设 $\displaystyle \xi =\xi(x)$ 的值域为 $\displaystyle \Xi$ ,那么我们求的极限实际上是 $\displaystyle \lim _{\Xi \ni \xi\to0}2\xi \sin\frac1\xi-\cos \frac1\xi$ ,这个不能判断是否存在。

（事实上，我认为这个问题的破题之处，并非与 $\displaystyle \xi(x)$ 的连续性有关，尽管有些朋友和我讲是这样的。）

写这篇文章的时候我并非步步推敲，必有疏漏之处。望诸知友不吝斧正！