最近有很多人纠结于等价无穷小的问题，主要在于分式的分子分母中有加减法时是否能用等价无穷小。这里我写了篇小干货，分享给大家。

这篇文章中用到了我之前的 浅谈相等关系与等价关系 中的记号，～与一般书上等价无穷小的记号无关，请大家在日常考试中不要用本文的记号。出了事概不负责。这里我们以～来表示高阶无穷小，主要是为了表示“...【是】...的高阶无穷小”而非“...【等于】...的高阶无穷小”。

此外， $\displaystyle f(x)-g(x)\sim o(h(x))$ 往往可被记作 $\displaystyle f(x)\sim g(x)+o(h(x))$

用到的定理

1.如果 $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)$ 和 $\displaystyle \lim_{x \to x_0}g(x)$ 都存在，那么 $\displaystyle \lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=(\lim _{x \to x_0}f(x))(\lim _{x \to x_0}g(x))$

2.在 $\displaystyle x \to 0$ 时，

$\displaystyle ko(x^m)\sim o(x^m)$

$\displaystyle o(kx^m)\sim o(x^m)$

$\displaystyle o(x^m)o(x^n)\sim o(x^{m+n})$

$\displaystyle x^mo(x^n)\sim o(x^{m+n})$

$\displaystyle \frac{o(x^m)}{x^n}\sim o(x^{m-n})$

在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有 $\displaystyle o(f(x)) \leq |f(x)|$

在 $\displaystyle m \geq n$ 时，有 $\displaystyle o(x^m)+o(x^n)\sim o(x^n)$ ， $\displaystyle o(x^m+x^n)\sim o(x^n)$

3.Taylor公式： $\displaystyle f(x)\sim \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$

Maclaurin公式: $\displaystyle f(x)\sim \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)$

4.复合函数的等价无穷小

设 $\displaystyle y=f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)$ , $\displaystyle f^{\prime}(0)$ , $\displaystyle f^{\prime}(P(0))$ 都存在且 $\displaystyle f^{\prime}(0) \neq 0$ ， $\displaystyle P(x)$ 是最高项次数为m的多项式，那么在 $\displaystyle x \to 0$ 时，有公式 $\displaystyle f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))\sim o(f(x^m)-f(0))$

证明：

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{f(x^m)-f(0)}=\lim_{x \to 0}\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)}$

而 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(P(x)+o(x^m))-f(P(x))}{(P(x)+o(x^m))-P(x)}=f^{\prime}(P(0))$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{o(x^m)}{f(x^m)-f(0)}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{o(x^m)}{x^m}}{\frac{f(x^m)-f(0)}{x^m}}=\frac{0}{f^{\prime}(0)}=0$

故原命题成立

5.等价无穷小的复合函数

设 $\displaystyle P(x)$ 是最高项次数为m，最低项次数为n的多项式，那么

$\displaystyle o(P(x)+o(x^m))\sim o(x^n)$

证明：

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{o(P(x)+o(x^m))}{x^n}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{o(P(x)+o(x^m))}{P(x)+o(x^m)}}{\frac{x^n}{P(x)+o(x^m)}}=0$

6.带高阶无穷小的有理分式

设 $\displaystyle P(x)$ ， $\displaystyle Q(x)$ 分别是最高项次数、最低项次数为 $\displaystyle m_1,n_1$ ， $\displaystyle m_2,n_2$ 的多项式，即 $\displaystyle P(x)=\sum _{k=n_1}^{m_1}a_kx^k$ , $\displaystyle P(x)=\sum _{k=n_2}^{m_2}b_kx^k$ ，其中 $\displaystyle a_{n_1},b_{n_2},a_{m_1},b_{m_2} \neq 0$ , $\displaystyle n_1,n_2 \geq 1$

那么，

$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)}{Q(x)}$

证明：

我们仅讨论 $\displaystyle n_1=n_2$ 时的情形，当其不等时，证明类似并且结论平凡。

由于 $\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{m_1})}{Q(x)+o(x^{m_2})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{n})}{Q(x)+o(x^{n})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)+o(x^{n})}{x^n}\frac{x^n}{Q(x)+o(x^{n})}=\lim _{x \to 0}\frac{P(x)}{Q(x)}$

正文

我们在计算极限的过程中，最常遇见的，便是 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 型的极限。常用的做法有，约分、等价无穷小代换、L'Hospital法则、Taylor展开。

事实上，根据我们的第3条定理，等价无穷小代换和L'Hospital法则其实只是Taylor展开的低阶形式，所以，我认为在计算这种极限的时候，还是用Taylor展开比较具有普适性。 所以我建议大家在计算极限的时候，总是带上高阶无穷小，而非愣头愣脑地直接用等价无穷小。

计算 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 型极限的步骤，是运用上述定理1、2、3、4、5，将其化成有理分式带上高阶无穷小的形式，再用定理6化简，或者用约分等方法得出结论。
【例题】

求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{1-\cos x }$

解： $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{1-\cos x }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x\sin x+o(x\sin x)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }$

而 $\displaystyle o(x\sin x)\sim o(x^2+xo(x))\sim o(x^2+o(x^2))\sim o(x^2)$

故原式= $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2+xo(x)+o(x^2)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2+o(x^2)+o(x^2)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}{\frac{1}{2}x^2+o(x^2) }=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{\frac{1}{2}x^2 }=1$

求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2^{\sin x}-2^x}{x}$

解： $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2^{\sin x}-2^x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2^{x}-2^x+o(2^x-1)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{o(x\ln2+o(x))}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{o(x)}{x}=0$

接下来我们对上述6个定理中的部分内容进行一定的阐释。

首先，这其中的许多定理都是被限定在 $\displaystyle x \to 0$ 的情况下，这是由于Maclaurin公式的存在，导致我们讨论极限只需要这样。即使不能在x=0处展开，我们也可以利用 $\displaystyle t=x-x_0$ 来将极限化归为这种类型。

其次，我们在多项式后的高阶无穷小总是与多项式次数相同。这也是Maclaurin公式决定的。对于不同的情况，我们要么把高阶无穷小利用定理2进行变化，要么就纯粹是高阶无穷小的题，而非一般函数的题，我们就不再讨论。

还有就是，定理4和5其实是有关系的。对于复合函数来说，如果先对内函数用Taylor展开，那么就用定理4；如果先对外函数用Taylor展开，那么就用定理5.此外，还需声明的是，有时候用定理4或定理5之后得出的结论不一样，也就是先展开外函数和先展开内函数的结果所带的高阶无穷小不同。这个就看缘分吧。

以及，定理4中有一个条件， $\displaystyle f^{\prime}(0)\neq 0$ 。这个条件我总觉得有些辣眼睛。我试着规避这个条件，但总是找不到合适的替代条件。事实上，如果 $\displaystyle f^\prime (0)=0$ ，有反例 $\displaystyle f(x)=x^2$ , $\displaystyle g(x)=\sqrt{1+x^2}$ , $\displaystyle m=1$ 。

对于定理6，事实上，它的公式我们不太需要记住。定理6的目的是告诉大家，只有 $\displaystyle n_1,n_2 \geq 1$ 时才能出现有效的结果。在我们正规计算极限的过程中，实际上就是把定理6证了一遍。比如求 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-e^x}{\sin x}$ ,正规过程即为 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-e^x}{\sin x}=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)-(e^x-1)}{x}\frac{x}{\sin x}=-\frac{1}{2}$ .

【下述重要】

此外，为什么等价无穷小只能用于乘除，而不能用于加减呢？事实上，这与我们定理6有关。 在分式的分子或分母中，事实上是可以用等价无穷小的，但只有在不被抵消为0的情况下可以。 比如说，如果分子或分母中是 $\displaystyle x-\sin x$ ,那么只能通过等价无穷小代换至 $\displaystyle \frac{1}{6}x^3+o(x^3)$ ,而不能代换成 $\displaystyle o(x)$ ,因为此时高阶无穷小前多项式的最低次项的次数是0，不符合定理6中 $\displaystyle n_1,n_2 \geq 1$ 的条件。

【上述重要】

我们讲了这么多定理，事实上，大多数都不是在标准课本上的（事实上，有些定理网络上也没有。。。）。所以在正规考试中也不能用。 我用这些定理的目的，是让大家理解为什么在某种情况下能用等价无穷小，但在某种情况下用等价无穷小就是错的。

接下来，我们看一些非 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 型的极限的求法：

$\displaystyle 0\cdot\infty=\frac{0}{(\frac{1}{\infty})}$ , $\displaystyle 1^\infty =e^{\infty \ln 1}=e^{0 \cdot \infty}$

以及，一些灵活的技巧，如：

求 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sin \frac{4}{x}+\cos \frac{2}{x})^x$

原式= $\displaystyle \lim_{x \to \infty}((1+\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))^\frac{1}{\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x})})^{x(\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))}=e^{\lim_{x \to \infty}{x(\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))}}$

而 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}{x(\sin \frac{4}{x}-(1-\cos \frac{2}{x}))}=\lim_{t \to 0}\frac{\sin (4t)-(1-\cos (2t))}{t}$ 就变成了正常的分式极限

以上就是用等价无穷小求极限的我的一点思考。