前言

多元函数的极限，是一个非常难以理解的东西。相信大家在学习多元函数极限的时候，都对“以任意方式趋近”有了很深的印象。一元函数的极限，很简单，只会以直线趋近，但维度一升高，极限就会变的异常复杂。我这篇文章里主要想讲的是，怎样将多元函数极限与一元函数极限联系起来。当然，也有一些很实用的技巧，比如说最后一部分中，利用极坐标来判断二重极限不存在。

这篇文章的实用性并没有前几篇那么强，但我觉得，如果想大致了解一下多元函数的极限与一元函数极限的关系，这篇文章也许能起到一定的作用。

正文

我们以多元函数的极限的定义来开始我们这次的文章：

不过在此之前，我们需要先定义 $\displaystyle n$ 维空间中的距离：

对于点 $\displaystyle A(a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ 和 $\displaystyle B(b_1,b_2,\ldots ,b_n)$ ,定义
$\displaystyle |AB|=\sqrt{\sum _{i=1}^n(a_i-b_i)^2}$

接下来，我们就可以定义极限了：

对于 $\displaystyle n$ 元 $\displaystyle m$ 维函数 $\displaystyle f:\mathbb R^n\to \mathbb{R} ^m$ 和一个点 $\displaystyle M_0(m_1,m_2,\ldots ,m_n)$ ,如果 $\displaystyle \exists \text{点}A(a_1,a_2,\ldots a_m)\in \mathbb{R}^m,\mathrm{s.t.}\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\mathrm{s.t.}\forall N(M_0,\delta)\text{中的聚点}M(x_1,x_2,\ldots ,x_n),\text{有}$ $\displaystyle |f(M)-(a_1,a_2,\ldots ,a_m)|< \varepsilon$
则称 $\displaystyle A$ 为 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle M\to M_0$ 时的极限，记作
$\displaystyle \lim_{M\to M_0}f(M)=A$

以上即为多元函数极限的定义。

对于定义的挖掘，我并不想有太多的讨论，主要还是在聚点的问题上，详细请看我的文章 更精细地处理极限 。

换元法

和一元函数类似，多元函数的换元法的本质仍然是复合函数的极限法则：

对于 $\displaystyle n$ 元 $\displaystyle k$ 维函数 $\displaystyle g$ 和 $\displaystyle k$ 元 $\displaystyle m$ 维函数 $\displaystyle f$ ，若 $\displaystyle \lim_{M\to M_0}g(M)=N_0$ 且 $\displaystyle \lim_{N\to N_0}f(N)=A$ ,而 $\displaystyle \exists N(M_0,\delta),\mathrm{s.t.}\forall M\in N(M_0,\delta),g(M)\neq N_0$ ,那么我们有
$\displaystyle \lim_{M\to M_0}f(g(M))=\lim_{N\to N_0}f(N)=A$

对于多元函数的换元法，我们需要注意到的是，这不仅可以简化我们的计算，还可以将多元函数的极限转化为一元函数的极限。此时只需要令 $\displaystyle k=m=1$ 即可。

比如说：

求 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin (xy)}{xy}$
记二元一维函数 $\displaystyle t(x,y)=xy$ ,则 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}t(x,y)=0$ .
我们使用复合函数的运算法则：
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin (xy)}{xy}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$

多重极限与累次极限

（这一段如果不想探究原理的人可以略过）

首先我们定义一致收敛：

已知一个带参数 $\displaystyle t$ 的函数 $\displaystyle f_t(x)$ 和一个数 $\displaystyle t_0$ ,其中 $\displaystyle t\in T,x\in X$ .若
$\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\mathrm{s.t.}\forall x\in X,\forall 0<|t-t_0|<\delta,|f_t(x)-f_{t_0}(x)|<\varepsilon$
则称函数列 $\displaystyle \{f_t(x)\}$ 在 $\displaystyle t\to t_0$ 时一致收敛到 $\displaystyle f_{t_0}(x)$ .

这里需要注意一点，由于 $\displaystyle \forall x\in X$ 是在 $\displaystyle \exists \delta >0$ 之后，故 $\displaystyle \delta$ 应是一个与 $\displaystyle x$ 的选取无关的数。这与我们一般的普通极限的定义不同。

常见的不一致收敛的函数列是 $\displaystyle f_n(x)=\frac{1}{nx}$ 在 $\displaystyle n\to +\infty$ 时。导致这样情况出现的原因在 $\displaystyle x=0$ 的附近。

下面给出交换极限顺序的定理：

已知一个带参数 $\displaystyle t$ 的函数 $\displaystyle f_t(x)$ 和 $\displaystyle t_0,x_0$ ,其中 $\displaystyle t\in T,x\in X$ .若函数列 $\displaystyle \{f_t(x)\}$ 在 $\displaystyle t\to t_0$ 时一致收敛到 $\displaystyle f_{t_0}(x)$ ，且 $\displaystyle \forall t\in T,\lim_{x\to x_0}f_t(x)$ 存在,那么
$\displaystyle \lim_{t\to t_0}\lim_{x\to x_0}f_t(x)=\lim_{x\to x_0}\lim_{t\to t_0}f_t(x)$

接下来介绍累次极限与多重极限的关系：

若 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y),\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y),\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ 都存在，则它们相等。

用极坐标简化极限运算

相信大家都知道， $\displaystyle n$ 元函数极限存在是一个非常苛刻的事情。它要求自变量以任何轨道趋近于定点的时候，极限都要存在。在二维情况下，是这个定理：

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，等价于
$\displaystyle \forall\text{连续函数} \Gamma (x,y)$ 满足 $\displaystyle \Gamma(x_0,y_0)=0$ ，且在 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 周围可以写成显函数 $\displaystyle y=F(x)$ 或 $\displaystyle x=F(y)$ ,须有 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x,F(x))$ 存在且相等。

对于高维，是类似的。

相信 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ 的例子已经让大家感受到了以不同直线趋于 $\displaystyle (0,0)$ 时极限不想等的绝望，有些同学也看过 $\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}1&y=\sqrt{x}\\0&y\neq \sqrt{x}\end{cases}$ 这样丧心病狂的例子，只有以 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ 的轨道趋近于 $\displaystyle (0,0)$ 时极限为 $\displaystyle 1$ ，其他情况的极限都是 $\displaystyle 0$ .仅仅从一个轨道趋近而极限不同，极限就不存在，可见多元函数的极限存在是一个非常苛刻的事情。

对于二元函数 $\displaystyle z=f(x,y)$ ,我们要求极限 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ 确实不太容易，但是，如果

我们令 $\displaystyle x-x_0=\rho \cos \theta,y-y_0=\rho\sin\theta$ , $\displaystyle f(x,y)=g(\rho,\theta)$ ,且 $\displaystyle \forall k\in \mathbb{R},\lim_{(\rho,\theta)\to(0,k)}g(\rho,\theta)$ 存在且相等，那么我们有：
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=\lim_{\rho \to 0}g(\rho)$
且若 $\displaystyle \lim_{\rho \to 0}g(\rho,\theta)$ 的结果与 $\displaystyle \theta$ 有关，或 $\displaystyle \lim_{\rho \to 0}g(\rho,\theta)$ 的结果不存在，则 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ 不存在。

这么长一段话，最后还是回到另一个二重极限存在上来，看似毫无用处。

这个定理，我们用的时候，是这样用的：

先把 $\displaystyle \lim_{\rho \to 0}g(\rho,\theta)$ 的结果求出来。如果和 $\displaystyle \theta$ 有关，那么二重极限一定不存在。

如果和 $\displaystyle \theta$ 无关，并且极限的表达式最终化简出来只是涉及到乘法，比如说 $\displaystyle \lim_{\rho \to 0}\rho ^2\sin \theta$ ,那么二重极限存在，且与此一重极限的极限值相等。

如果极限的表达式化简出来是分子分母都有 $\displaystyle \rho$ 的，别想了，赶快用土方法 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}$ 吧。

所以说，这个定理最重要的帮助，便是判断极限不存在。我通过将 $\displaystyle \theta$ 看作常数，求出 $\displaystyle \lim_{\rho \to 0}g(\rho)$ ,如果结果和 $\displaystyle \theta$ 有关，我可以轻易地构造出反例： $\displaystyle y=\tan \theta_1 x$ 和 $\displaystyle y=\tan\theta_2x$ ,当 $\displaystyle (x,y)$ 以这两种轨道趋近于 $\displaystyle (0,0)$ 时，结果必然不同。

但是，确实有一些人以为，所有的二重极限都可以化成极坐标来做。这实际上是错误的。事实上， $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=\lim_{(\rho,\theta)\to(0,k)}g(\rho,\theta)$ 这点并没有错。但是，后者要求对所有的 $\displaystyle k$ ，极限的结果都要存在且相等。并且，后者还是一个二重极限，而非累次极限。比如说，我们有反例：

已知 $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$ ,求 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 是否存在。
取 $\displaystyle y=x$ 和 $\displaystyle y=x^2$ ,可以很容易知道极限是不存在的。但是，如果我们转化成极坐标之后，求
$\displaystyle \lim_{\rho \to 0}\frac{\rho ^3\cos ^2x\sin x}{\rho ^4\cos ^4x+\rho ^2\sin ^2x}=\lim_{\rho \to 0}\frac{\rho\cos ^2x\sin x}{\rho^2\cos ^4x+\sin ^2x}=0$

出现这种情况的理由其实很好想，因为转化成极坐标之后，极限的趋近方式就变成了以直线趋近于原点。这显然不是充分的。

但是，我们有定理：

如果 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ 的极限存在，则可以用极坐标方式求极限。

当然，这个也有更高维的推广：

超球坐标系：向量 $\displaystyle (x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ 可以表示成 $\displaystyle (\rho,\theta_1,\theta_2,\ldots ,\theta_{n-1})$ 的形式，其中

$\displaystyle x_i=\rho\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots \sin\theta_{i-1}\cos \theta _i,i=1,2,\ldots ,n-1$

$\displaystyle x_n=\rho\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots \sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}$

$\displaystyle \rho=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$

那么同样地，我们要求极限 $\displaystyle \lim_{(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\to (y_1,y_2,\ldots ,y_n)}f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ ,也可以通过算 $\displaystyle \lim_{\rho \to 0}g(\rho)$ 来大致判断。