底层的浮点数
之前我们讲了整数怎样在底层记录，那么这里将介绍如何在底层记录浮点数。所谓浮点数，我们可以理解成以下两种数：
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小数
也就是如0.5，3.1415926这样的小数
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大数
非常大的数，一般用科学记数法表示，如114e514
我们可以发现，这两种数都可以表示为
$$ f\times 2^e $$
的形式，其中\(-2< f <2\)，\(e\)为整数。例如，二进制小数11101.1101可以看作\(1.11011101\times 2^{4}\)，而0.001101可以看作\(1.101\times 2^{-3}\)。在术语里，我们称\(f\)为尾数，\(e\)为指数。
根据这个发现，我们知道，任何数都可以唯一地表示成符号、尾数和指数的组合。因此，目前通用的浮点数算术标准IEEE754标准就规定了浮点数的存储方式为，存储其符号、尾数和指数的组合。其具体标准很枯燥，我们可以用一张图简单地说明一下：
sign exponent fraction
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--- --------------------------- ---------------------------------------
| | | |
--- --------------------------- ---------------------------------------
我们常用的浮点数类型包括：
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单精度浮点型（
float）长度为32位， 其中有23位尾数，8位指数
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双精度浮点型（
double）长度为64位，其中有52位尾数，11位指数
这些标准乍看上去难以理解，令人头痛，那我们不妨直接来看一个浮点数常见的问题。
浮点数算术的精度问题
我们有一个C程序：
double a = 0.1;
double end = 0.3;
while (a != end) {
a += 0.1;
}
这个程序的输出会是怎样的呢？将其编译并运行可以发现，这居然又停不下来了。这是为什么呢？
要想一探究竟，我们可以编写一个辅助函数：
void display_double_in_binary(double f) {
char *d = (char *)&f;
for (int i = 0; i < sizeof(f); i++) {
printf("%.2x ", d[i] & 0xff);
}
printf("\n");
}
这个函数可以输出浮点数的二进制表示。具体的程序位于codes/2-floating-precision.c。
我们通过这个辅助函数，可以看到：
Term end = 0.300000 bin: 33 33 33 33 33 33 d3 3f
Round 1 a = 0.100000 bin: 9a 99 99 99 99 99 b9 3f
Round 2 a = 0.200000 bin: 9a 99 99 99 99 99 c9 3f
Round 3 a = 0.300000 bin: 34 33 33 33 33 33 d3 3f
end的16进制表示是0x3fd3333333333333，而当a加到0.3的时候，它的16进制表示是0x3fd3333333333334。这两者不一致，因此不会进入循环终止条件。
我们上面提到，要想将一个浮点数存储在寄存器中，需要首先将其转化为二进制的小数。那么，0.1转化为二进制小数为0.0001100110011001101...，而0.3转化为二进制小数为0.01001100110011001101...。我们震惊地发现，十进制小数转化成的二进制小数居然不整。
这下就能解释为什么这个程序停不下来了。由于转化的二进制小数不整，因此存储在寄存器中时，发生了截断，产生了一定的误差。那么，在进一步计算时，误差就会累积，从而几乎没有可能真正到达0.3。这就是浮点数算术的精度问题。
这种精度问题在我们实际的生活中会遇到吗？下面，我就介绍一个在Dark Souls速通中被发现的一个Meme Roll Glitch（视频讲解可以看B站搬运的视频《黑暗之魂》中“最疯狂”的skip是如何诞生的的24:45秒开始）。
在Dark Souls中，从高空坠落会受到伤害，当高度高于一定阈值时，人物会死亡。在游戏速通中，玩家希望通过一些地方的跳跃到达后期才能去的地区，从而绕过很多步骤，节省大量的时间。但是，这些跳跃往往高度都非常高，会造成角色的死亡，直接跳显然是不行的。在Meme Roll Glitch发现之后，这个问题终于得到了解决。
提出这个Glitch的玩家发现，当角色的负重在25%与25.000088%之间时，角色可以在高空坠落的过程中不断地翻滚，从而利用翻滚的无敌帧避开坠落的伤害。但是，负重在游戏中的最小计量单位是0.1%，理论上不可能使角色的负重在这个范围内。这就需要浮点数算术的精度问题了。由于浮点数本身采用二进制小数进行存储，所以不可能精确等于其十进制数值。因此通过仔细地调整装备与耐力等级，不断利用浮点数算术的精度误差，最终能使角色处在这一负重范围内，最终实现无伤害坠落。
浮点数能建立全序关系吗？
在一些现代编程语言中，编译器会很聪明地阻止我们干一些事。例如，如果我们想用Rust语言对浮点数的数组进行排序：
#![allow(unused)] fn main() { let mut s = [1.0, -3.5, 4.7]; s.sort(); }
会发现编译不通过，提示"the trait Ord is not implemented for {float}"。这是为什么呢？要解释这一问题，我们不妨先了解一下IEEE754标准里几个特殊的常数（可以参考codes/2-special-numbers.c）。
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零值
之前我们提到，存储浮点数时会存储其符号信息。但是，其余数字的存储并不一定会像整数一样使用补码。事实上，在IEEE754标准里，有两个零值：
+0.0与-0.0。零值存储的值是不同的：
+0.0存储的值为0x00000000，-0.0存储的值为0x00000080。但是，在比较运算中，
+0.0与-0.0是相等的。 -
INFINITY代表无穷大， 有
+INFINITY与-INFINITY两个值。一般可以通过
1.0/0.0以及1.0/-0.0得到无穷大值。在比较运算中，
+INFINITY大于所有除了其本身的值；-INFINITY小于所有除了其本身的值。 -
NAN代表非数值。有
+NAN和-NAN两个值。可以通过对
-1.0开方等操作得到。其与任何数都不相等。也就是说，
NAN != NAN，-NAN != -NAN。也无法进行比较，也就是说，NAN于任何数进行小于、大于的比较，返回结果都是false。
介绍了这些特殊的常数，那么，我们就可以解答为什么f32不满足Eq的trait了。
Ord trait，就是全序关系。集合\(X\)上可以建立全序关系，意思就是说：
对于\(X\)中的元素\(a\), \(b\), \(c\)有：
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反对称性
如果\(a\leq b\)且\(b\leq a\)，则\(a=b\)
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传递性
如果\(a\leq b\)且\(b\leq c\)，则\(a\leq c\)
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完全性
对于\(X\)中的任意元素\(a\)和\(b\)，都有\(a\leq b\)或\(b\leq a\)
对于我们最常接触的整数来说，这些性质是非常显然的，因此整数可以建立全序关系。
但是，对于我们刚刚提到的IEEE754定义的浮点数类型来说，由于NAN与任何数都不相等，因此浮点数不可以建立全序关系，从而不满足Ord trait。
直观地，我们也可以看出来，NAN这样特殊的数，无法进行比较，从而如果出现在数组中，对其排序是没有意义的。